e–Matematika.cz - Nesnesitelně snadná matematika

Zajímavé stránky

• e-Jazyky.cz
• e-Fyzika.cz
• Přijímací zkoušky nanečisto
• Přijímací zkoušky na VŠE
• Angličtina zdarma
• Doučování matematiky
• Autoškola
• Vejska.cz

Jak řešit rovnice se dvěma absolutními hodnotami

Nabízíme (objednat) všechny materiály z této sekce na webu e-matematika.cz jen za 250Kč!
Podpořte náš web odkazem!

Jazyková škola Březinka otevírá letní jazykové kurzy. Přátelské tvůrčí prostředí + velmi příznivé ceny.

Příprava na reparát z matematiky

Zadání

1. krok

Máme-li v rovnici dvě a více absolutních hodnot, nevedeme řešení přes geometrický význam. Postupujeme algebraicky. Hledám, jak a kde odstranit absolutní hodnoty a nahradit je výrazem z vnitřku absolutní hodnoty.

Pro absolutní hodnotu platí:

|a|=a pro a ≥ 0

|a|=-a pro a <0

Pro každou absolutní hodnotu z naší rovnice najdeme její nulový bod.

Pro první absolutní hodnotu: x+2=0 → x=-2

Pro druhou absolutní hodnotu: x-4=0 → x=4

2. krok

Dva nulové body nám rozdělí celou číselnou osu na tři intervaly. Potřebujeme zjistit u každého z výrazů, jestli je na daném intervalu kladný nebo záporný. To zjistíme dosazením prvku z intervalu do výrazu. Dosazujeme například čísla -5, 0 a 6.

3. krok

Na každém intervalu podle znaménka odstraníme absolutní hodnoty a získáme tak tři lineární rovnice.

Na prvním intervalu jsou znaménka minus a minus. Obě dvě absolutní hodnoty nahrazujeme výrazem opačným.

a) x ∈(-∞;-2)

(-x-2)+(-x+4)=8

Na druhém intervalu jsou znaménka plus a minus. První absolutní hodnotu nahradíme výrazem z jejího vnitřku beze změny, druhou nahrazujeme opačným výrazem.

b) x ∈❬-2;4❭

(x+2)+(-x+4)=8

Nejjednodušší to máme na třetím intervalu. Tady vyšla znaménka plus a plus. Absolutní hodnoty nahradíme výrazem z jejich vnitřků a nic neměníme.

c) x ∈(4;∞)

(x+2)+(x-4)=8

Poznámka. Závorky intervalů v nulových bodech volíme tak, aby intervaly na sebe plynule navazovaly. Jednou otevřená a jednou uzavřená.

4. krok

Nahrazením absolutních hodnot jsme získali tři obyčejné lineární rovnice a ty dořešíme. U každého výsledku ověříme, zda leží v počítaném intervalu, a pro jistotu uděláme zkoušku.

a) x ∈(-∞;-2)

Kořen leží v uvažovaném intervalu, to je v pohodě.

Zkouška: L(-3)=1+7=8=P(-3)

K_a={-3}

b) x ∈❬-2;4❭

Zmizelo nám x a získali jsme evidentní nerovnost (nepravdu).

K_b=Ø

c) x ∈(4;∞)

Kořen leží v uvažovaném intervalu, to je OK.

Zkouška: L(5)=7+1=8=P(5)

K_c={5}

5. krok

Výpočet zakončíme vyjádřením množiny všech kořenů:

K={-3;5}

Tuto kapitolu si můžete stáhnout v PDF:
Jak řešit rovnice se dvěma absolutními hodnotami.

První matematická pohotovost

V rámci matematické pohotovosti nabízíme doučování z matematiky a řešení obtížných příkladů.